近日，南京大学固体微结构物理国家重点实验室、现代工程与应用科学学院的陈延峰教授团队的卢明辉教授课题组与西班牙马德里先进材料研究所的Johan Christensen教授课题组合作共同回顾了光声经典系统中拓扑物理的最新进展，并对该研究方向提供了开放性的展望。相关综述以“A second wave of topological phenomena in photonics and acoustics”为题发表于《Nature》期刊上。其他参与撰写的有南京大学现代工程与应用科学学院张秀娟副教授、日立ABB电网研究中心Farzad Zangeneh-Nejad博士和南京大学苏州校区功能材料与智能制造研究院陈泽国副教授。

常规拓扑光学和声学系统，例如打破时间反演对称性的Chern绝缘体、保留时间反演对称性并利用自旋轨道耦合实现的拓扑绝缘体、打破空间（反演、镜面）对称性实现的谷霍尔绝缘体、以及具有奇异能带简并的无能隙拓扑结构、Floquet拓扑绝缘体等，它们的拓扑性质都由基于布洛赫能带理论的拓扑不变量进行描述和表征。然而，最近的研究表明，在非厄米、非线性、非阿贝尔或存在拓扑缺陷的非常规系统中，系统哈密顿量的本征能量或本征向量出现复数、能带出现缠绕交织，传统的布洛赫能带理论不再适合表征其拓扑性质（见图1）。随着大量相关研究工作的涌现，拓扑物理正在经历新一波的发展浪潮。其中，光/声学系统得益于其高度可控的材料设计、加工及检测平台，光子和声子等玻色子的非平衡态特性，正在迎来拓扑物理的新一波的发展。陈延峰教授和卢明辉教授团队长期从事人工微结构材料拓扑物理的研究，在常规拓扑方面取得了非常丰富的研究成果，例如首次实现声拓扑绝缘体；在非常规拓扑物理领域也积累了较为丰富的研究经验，尤其是在非厄米拓扑方面，例如非厄米PT对称、非厄米奇异特性、非厄米趋肤效应等。我们注意到非常规拓扑物理近年来发展迅速，意识到对其进行回顾、总结和展望的必要性和迫切性。本综述总结了最具代表性的几类非常规拓扑体系，包括非厄米拓扑、非线性拓扑、非阿贝尔拓扑以及拓扑缺陷等方面的最新进展，并对该领域的下一步发展提供了开放性的展望。

  ?

图1.（a）常规拓扑绝缘体的典型能带结构（上），其拓扑性质通常用非平庸的贝里曲率（下）来表征。（b）与常规拓扑系统不同，一些非厄米系统中的拓扑性质需要由复能带绕组（complex energy winding）来表征。（c）非线性系统中随着系统输入功率的增加，能带结构无法准确定义，此时系统的拓扑性质可通过分析传输相位及其绕组行为来进行表征。（d）三叶结绳结结构（左）、和能带节点组成的编织结构（右），可以都用基本群 (the fundamental group) 来描述，在特定的结构间还具有一定的等价性。（e）涡旋缺陷，其拓扑性质源自于实空间中的结构扭曲，无法用倒空间的能带性质进行描述。

非厄米拓扑

非厄米性代表系统与外界存在着能量交换，这在开放系统中十分常见。非厄米系统具有复数本征值和非正交的本征向量，这导致了一些有趣的非厄米拓扑物理现象，这些现象展现出与厄米体系拓扑效应完全不同的特征。本节将对这些新奇的现象进行较为系统地评述。

与厄米系统类似，分析非厄米系统的拓扑性质依然依赖能带和带隙的概念。对于非厄米系统，其复平面上本征能谱的带隙以线状或点状的方式分布，对应两种基本类型：如果系统的非厄米哈密顿量的复能谱被一条基线隔开，那么就说这个系统具有线带隙；如果存在一个复能量基点EB满足 [H(k)?EB]≠0[H(k)表示系统哈密顿量，k代表布里渊区里的任意波矢]，那么就说这个系统具有点带隙（具体示例见下方Box）。

  ?

Box. 非厄米带隙。考虑两种周期性格子，其非厄米性分别来源于原位增益/损耗（a）或者非对称耦合（b），前者会出现线带隙，可进一步分为实带隙和虚带隙（c），后者出现特殊的点带隙（d）。

任何具有线带隙的非厄米哈密顿量都可以连续变换成厄米（对应实带隙）或者反厄米（对应虚带隙）矩阵，相应的非厄米系统继承了其厄米系统的拓扑性质，因此这类型的非厄米拓扑不变量可以在厄米拓扑不变量的基础上进行适当的变换后得到。不同之处在于非厄米系统中的边界态由于非厄米作用会经历放大或损耗 (注意，在PT对称系统中，它们可能仍为实模式)。非厄米边界态启发了光声经典波领域的一系列研究，例如利用非厄米拓扑边界态放大的特征可以实现拓扑激光 (图2a)。研究发现，得益于其拓扑鲁棒性的优势，非厄米拓扑边界态在激射过程中表现出功率密度的增强和高稳定性。拓扑激光的研究不仅在光学中广泛开展，在声学中，人们也尝试利用电热声耦合实现声学拓扑态的增益 (图2b)。

与线带隙不同，零维的点带隙具有非常特殊的本征能量绕组（见Box），这产生了非厄米系统独有的能带拓扑结构，并导致了许多有趣的现象，例如非厄米趋肤效应、复能带编织、以及无带隙的非厄米奇异特性等。非厄米趋肤效应是一种在非厄米驱动下系统所有的（或部分的）本征态局域在边界处的效应，它的拓扑根源正是复能带的绕组。光学和声学系统充分发挥了其材料平台的优势，提出了实现非厄米趋肤效应的各种方法。例如，将时间调制应用到光纤环路，可以获得光子的不对称耦合从而产生非厄米趋肤效应。受这一效应调制，光波发生不对称传输进而汇集到指定的边界位置（图2c）。

一般情况下，能带的扭曲和编织（图2d）与点带隙的能量绕组相关。然而，最近的研究发现，对于具有多条能带的非厄米系统，多带性质使得只有小部分能带编织具有明确定义的点或线带隙。针对此，研究人员提出了同伦理论，利用编织群提供了更一般的非厄米能带表征，完善了点和线带隙的表征方法。基于这一方法，人们发现复能带的扭曲和编织能形成编织群，甚至携带有非阿贝尔特征（FC碰碰胡老虎机法典-提高赢钱机率的下注技巧讨论见非阿贝尔物理小节）。

另一个非厄米拓扑的新兴分支是无带隙非厄米简并。与厄米的简并不同，非厄米简并通常表现出奇异特性（exceptional characteristics）。例如，图2e展示了将散射损耗引入到光波导阵列中时，原本系统支持的厄米外尔点变成了非厄米外尔奇异环，其上所有能量本征值和本征向量同时塌缩。结合多种晶格对称性，非厄米简并可以以多种形式具象，例如奇异点、奇异线、奇异环、甚至更复杂的奇异链等。这些奇异特征同样属于非厄米能带拓扑的范畴，可以通过点/线带隙或同伦理论来进行表征。

综上，非厄米性与拓扑相的结合是光/声拓扑研究中一个蓬勃发展的领域，人工结构的高度可设计性也将进一步促进其基础和应用研究。

  ?

图2. 非厄米拓扑现象。（a）光学拓扑激光器。（b）声学非厄米拓扑微腔。（c）在具有不对称耦合和非厄米点带隙的系统中实现非厄米趋肤效应。（d）在光学系统中，基于振幅和相位调制器实现非厄米复能带的编织。（e）将散射损耗引入光螺旋波导阵列中，原本无损耗时的厄米外尔点扩展成了非厄米的外尔奇异环。

非线性拓扑

大多数的拓扑结构都具有一个共同的特性：系统是线性的，即服从所谓的叠加原理。然而，非线性在许多物理系统中广泛存在，它可以导致许多有趣的效应，例如谐波生成、自聚焦和孤子传播。系统中非线性的存在对拓扑相及其边界态的理论理解提出了挑战，这是因为当非线性变强时，周期性结构的模态解不能再使用类布洛赫函数来表征，以至于不能准确定义能带结构和拓扑不变量。这些特征启发和促进了非线性拓扑物理的广泛发展。

与传统的线性拓扑结构相比，非线性拓扑结构提供了有趣的可重构性。此类拓扑系统的非线性行为意味着其边界态的动力学依赖于激发强度，通过调节外部泵浦能量强度，不仅可以控制拓扑相变，还可以控制相应带隙内边界态的特征。这一特质可能为下一代具有拓扑特性的可重构光学和声学设备提供启发。

图3a展示了一个由非线性诱导的光学拓扑绝缘体的例子，它是基于具有交替的线性和非线性耦合光波导形成的二分方晶格。非线性耦合是通过在光波导的有效折射率之间引入失谐来实现的，这迫使一定比例的光始终留在最初激发的波导中，从而导致克尔型非线性。在线性状态（低功率）时，晶格结构是拓扑平庸的，随着光功率的增加，系统被驱动到高于某个功率阈值的拓扑非平庸状态，拓扑边界态随之产生，如图3b所示。除光学系统外，非线性拓扑结构在声学、机械平台等领域也有研究。

图3a中描述的结构由无源元件制成，其特征对应于厄米拓扑结构。最近，非线性拓扑绝缘体的概念已扩展到非厄米系统领域，表现出如PT对称性等有趣现象。与厄米情况类似，非厄米拓扑系统中的非线性效应可以被当作调节旋钮来控制PT对称性和相应的非厄米拓扑边界态的性质。例如，研究人员基于增益和损耗波导以及界面缺陷组成非厄米SSH晶格，发现引入光学非线性可以改变波导折射率的实部，从而能够有效控制非厄米SSH晶格的增益和损耗，使系统在PT对称和PT破缺状态之间切换，并伴随着拓扑零能模式的破坏和恢复，如图3c所示。

与非线性拓扑性质相关的另一个有趣现象是与拓扑边界态共存的孤子波，这一现象一般发生在当非线性效应补偿系统中的色散效应时。图3d展示了基于周期性调制的光波导阵列中，在非线性存在的情况下，光学克尔效应会导致光孤子波的形成，后者可以在不改变形状的情况下沿着拓扑结构的边界进行传播。拓扑边界孤子是非线性系统中特有的模式，不能简单地根据线性系统中的能带拓扑来表征，其拓扑特性及分类还需进一步研究。

此外，以非平庸体极化为特征的非线性拓扑系统向更高阶扩展也是一个新兴方向，其中二阶非线性拓扑相已经在理论上被提出，并在基于菱形kagome晶格组成的光学系统中得到了实验证实。如图3e所示，这类非线性二阶拓扑绝缘体支持无带隙角态，可以通过系统的输入功率进行调控，有望在能量收集和非线性激射等方面产生应用。

  ?

图3. 非线性拓扑结构。（a）二维非线性光学拓扑绝缘体，其非线性是基于具有失谐折射率的耦合光波导予以实现。（b）在低功率状态下，光衍射到晶格内部；对于高输入功率值，系统发生拓扑相变，变成拓扑非平庸相，出现手性边界通道。（c）基于耦合光波导的非厄米拓扑SSH模型，其中非线性控制系统的增益和损耗，使其在PT对称和非PT对称状态之间切换，并伴随着具有增益（左）和损耗（右）界面的拓扑零能模式的破坏和恢复。（d）沿Floquet 拓扑绝缘体的边缘形成的光孤子波。（e）在二阶拓扑绝缘体的拐角处形成非线性引起的角态。

非阿贝尔物理

能带拓扑引起关注与兴趣的核心在于其鲁棒的边界响应上，谈及鲁棒性，日常生活中能展示鲁棒性的还包括绳结结构。绳结结构可由一组复杂的绳结不变量描述，在数学上可应用基本群理论对绳结余空间 (knot completement) 进行分类，而最常见的三叶节绳结群就是非阿贝尔的。非阿贝尔群以群乘法运算的非交换性为特征，在物理学中普遍存在。本节简要评述了近年来经典波系统中关于非阿贝尔结构（包括非阿贝尔规范场、非阿贝尔几何相、非阿贝尔拓扑荷与能带中的绳结结构）的最新研究。

引入非阿贝尔运算的一个常见例子是在三维空间中围绕x轴和y轴进行两次旋转，将此旋转操作类比为规范操作且映射到物理量中，可以实现非阿贝尔规范场。例如，考虑希尔伯特空间正交的两个简并光学模式，利用含时调制与法拉第效应这两种打破时间反演对称性的效应去实现光学模式在希尔伯特空间的旋转，分别对应于图4（a）的两个旋转算符以实现非阿贝尔的规范场。编织是另一种有望实现容错拓扑量子计算的非阿贝尔运算，在二维中交换两个任意子可以模拟编织操作，当涉及三个或FC碰碰胡老虎机法典-提高赢钱机率的下注技巧任意子时，该编织操作是非阿贝尔的。然而迄今为止，任意子的实验观测方面仍然存在相当大的技术挑战。有趣的是，参数空间中两个简并态沿着球体八分之一表面的平行传输可以实现类比于任意子交换的“态的交换”，再现了编织操作。在声学和激光直写波导阵列中可以通过多个简并态的绝热演化来复现非阿贝尔几何相，从而生成幺正群以及编织群（图4b）。在经典系统中，单纯的手征对称保护的模式简并是非常脆弱的，为了规避结构缺陷的影响，有望通过可调的外部场来动态地驱动简并模式。即使没有完美的简并模式，多态演化也会引入非阿贝尔行为，例如非阿贝尔Thouless泵浦，其非阿贝尔性质源自三个状态之间两个不同泵浦循环的组合。非阿贝尔几何相位也存在于自对偶的机械系统中，这会影响波包的传播并导致非交换的机械响应。此外，在非厄米系统中围绕多个奇异点的状态交换也可以形成复能带的拓扑编织，其中不同结点结构的能谱已经被观察到。置换群也可以是非阿贝尔的，围绕奇异点的闭环操作通常伴随着态的置换，如图4c展示了置换形成的非阿贝尔二面体群。

除了探索基于态操纵的非阿贝尔现象外，研究人员还重新审视了能带物理中的拓扑不变量，并发现了其也可能具有非阿贝尔结构。 单个带隙或带节点可以用拓扑不变量来表征，对称性的引入进一步丰富了其分类，其拓扑不变量归为阿贝尔群。 基于阿贝尔群性质的常识认为，带和带隙拓扑通过简单的加减法相互联系，然后其中一个自然推论就是相反手征的外尔点聚在一起可以湮灭。 但是，如果考虑基于多能带的拓扑纠缠，上面的结论就有待商榷了。

与Dirac或Weyl点相关的拓扑效应，通常以阿贝尔的拓扑不变量为特征， 然而，通过考虑具有多能带组成的节点线金属，研究者发现其中蕴含着非阿贝尔特性。在特定对称性保护下，存在某规范可以使得态可用纯实数描述。如此，对这些态空间进行分类可以更好地适用基本群理论现有的结论，其态空间基本群可以是阿贝尔群或非阿贝尔群，与所涉及的能带数目有相关性（图4d）。综合考虑多能带引起的非阿贝尔特性会涌现出一些不同的现象，包括一维系统中Zak相描述之外的非平庸带隙和相应边界态，以及二维系统中的非阿贝尔能带节点和欧拉类（Euler Class）。在三维上，利用基本群可以预测各种可容许的节线构型，例如节点链、节点环和节点耳环等等，以及它们之间的互相转化规律。比如，非阿贝尔拓扑与空间对称性的相互作用使得成对的外尔点可能会分散或转化为节线环。

可以看出，上述提到的非阿贝尔群，往往出现在全局系统的研究中，综合考虑了波动系统中内禀自由度、与外场相互作用、高维参数空间与能带空间的联合作用等。其丰富的内在结构必将引出大量待探索的研究方向。例如，不同于著名的体边对应关系，非阿贝尔拓扑中体-边对应的问题尚未解决。虽然已有实验工作暗示其体边对应关系可能由非阿贝尔群的群乘法决定，但是这只是讨论了一维情形，高维情形的推广尚未可知，并且其严格的数学证明仍然是一个挑战。

  ?

图4. 非阿贝尔波动物理，算符的不可交换性形成了非阿贝尔结构。（a）SU(2)群，其中含时调制和法拉第效应分别对应两个旋转算符。（b）编织群，其中沿着某些参数循环的状态演化表现为编织算子。（c）置换群，其中在非厄米系统中交换的本征态表现为置换算符。（d）与阿贝尔拓扑不变量表征的双带模型相比，具有实本征态的多带模型涉及到非阿贝尔能带拓扑，图中符号表示由非阿贝尔群元素表征的能带节点。

拓扑缺陷

当局部缺陷被引入到拓扑晶格中，而整体的晶格对称性并没有被破坏时，边界态或角态依然存在。在本节中，我们关注的不是局部缺陷，而是原本完美晶体中的拓扑缺陷。这些拓扑缺陷由于在有序结构中构成局部扭结或障碍物，因此不能通过晶格重排或连续变形来修复。通常，拓扑缺陷包含一个序列被破坏的核心和一个缓慢变化的外部区域，可以根据破坏的对称类型来标记缺陷。例如，旋错和位错分别破坏了旋转和平移晶格对称性，并且在自然界中广泛存在。斑马的条纹图案就包含这两种缺陷类型：在其四肢周围条纹方向的变化中可以看到旋错（红框），而在新条纹分裂的地方存在位错（蓝框），如图5a所示。除此之外，还有其他典型的拓扑缺陷，比如多晶石墨烯中晶体之间的拓扑线缺陷即晶界，以及在拓扑超导体中可以将Majorana束缚态束缚在涡旋核的拓扑涡旋等。

与前文所述非常规拓扑系统类似，拓扑缺陷系统的特征也无法用常规的基于倒空间中布洛赫能带理论进行表征。例如，超流体和拓扑超导体中的涡旋缺陷不会被有序参数连续变形破坏，具有拓扑性质，这与非平庸拓扑绝缘体中非零的贝里相具有相似的起源，然而这两者的表征却大不相同，盖因前者并无周期性的概念，其拓扑性质需要用实空间绕组数来进行表征。又如，通过在周期系统中加入结构涡旋，可以打开带隙，并产生零能态，这一零能态束缚于涡旋中心处，这就是经典的Jackiw-Rossi模型。借鉴这一拓扑涡旋的产生原理，研究人员利用3D打印制作声学类石墨烯晶格，进一步通过引入Kekulé结构涡旋，实现了声拓扑涡旋态，这一声学态同样束缚于涡旋的中心，并携带非平庸的角相位绕组（图5b）。类似的方法被应用于固体声波系统中，研究人员在钢板上按照Kekulé结构涡旋排列螺栓，实现了基于弯曲振动模式的固体声涡旋。在光学系统中，人们通过飞秒激光直写技术加工波导晶格、利用电子束光刻技术在硅片上刻蚀三角穿孔，分别在通信波段上产生近红外拓扑零能模式和狄拉克涡旋拓扑腔面发射激光器。

最近，研究人员发现，旋错缺陷的起源与完美晶体（即没有旋错的晶体）的拓扑性质有关，并由此提出了体-旋错对应关系，它将完美晶体的体拓扑性质与实空间拓扑缺陷联系起来。这一发现表明，从广义上讲，拓扑晶体绝缘体的量子化现象不仅体现在完美晶体的边界处（对应常规的拓扑边界态和角态的出现），还能体现在表征旋错缺陷旋转和平移性质的Frank角和伯格斯矢量上，后者可以用旋错处的分数电荷予以表征。人们发现在由四方晶格引入缺陷形成的旋错中，其拓扑缺陷态携带以e/4为单位量的分数电荷；而在由六方晶格形成的旋错中，拓扑缺陷态携带以e/6为单位量的分数电荷（图5c）。这里，e表示单位电荷。值得注意的是，在光/声学等经典系统中，电荷这一概念实际上表征的是模式的局域态密度在频谱上的积分截断。

除二维系统中的缺陷外，三维系统同样存在拓扑缺陷。如图5d所示，研究人员通过将层状堆叠的二维拓扑绝缘体进行切割和粘合，在三维空间中构造出螺旋缺陷，其上束缚有螺旋位错模式。除上述位错缺陷外，其他有趣的拓扑缺陷还包括畴壁和分形结构等。拓扑缺陷的研究，作为实空间拓扑与倒空间拓扑的媒介，综合考虑了两种拓扑的相互作用，可以在波的局域性操控上提供新的思路。

  ?

图5. 拓扑缺陷。（a）斑马条纹中的拓扑旋错（红框）和位错（蓝框）。（b）在声学系统中基于Kekulé结构涡旋构造的声学Jackiw-Rossi型拓扑缺陷。（c）基于四方和六角晶格形成的拓扑旋错分别携带以e/4和e/6为单位量的分数电荷。（d）通过切割-粘合二维堆叠拓扑绝缘体形成的三维螺旋位错。

本论文总结了在光声经典波领域，基于人工微结构材料的非厄米拓扑、非线性拓扑、非阿贝尔拓扑以及拓扑缺陷研究的最新进展。这些非常规物理与拓扑相的结合产生了许多前所未有的特性与现象，但在理论解释、性质探索和应用研究等方面还有许多亟待解决的问题，值得人们进一步探索。对光声经典波领域的拓扑相的基础物理和各种效应进行研究，不仅加深了人们对于拓扑原理导致的波动物理新现象的理解，也将促进光波、微波、太赫兹波、等离激元波以及声波、机械波等波动效应在工程领域的新应用。期待这些非常规物理和拓扑物理的结合会驱动光声经典波领域的拓扑物理研究的新浪潮。