数学是一切科学的基础，其中深邃复杂的理论看似遥不可及，与日常生活相距甚远。然而，数学中的精微理论与精妙运算，却渗透于我们日常生活中的每一寸肌理。

在《开悟》一书中，作者从“衣食住行”等生活中琐碎的简单问题入手，将插画与讲故事的形式相结合，一步步抽丝剥茧，让高深的数学理论变得有用、有趣，为我们揭示习以为常问题背后所运行的复杂原理，为读者揭示一系列“我们根本不知道自己不知道”的奇妙规律。

更重要的是，作者不仅揭示了生活中琐碎问题的原理，更为读者在生活中遇到的问题提供了一条更优的解决路径。因此，本书适用于所有人阅读，用于了解生活，了解数学，找到更优的生活方式，从而提升生命质量。

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数学中的平均分配

2022年冬奥会期间，摩洛哥元首阿尔贝二世亲王在人民大会堂体验面塑制作时，表示想带冰墩墩回家送给自己的龙凤胎，但强调了必须是两个冰墩墩，否则不好交代。

这其中体现出来的是双胞胎乃至有两个及以上孩子家庭中的平均分配问题。“世界上没有一模一样的两片树叶”，就平均分配而言，出现多个一模一样物品的机会也总是很少的，那么如何聪明地进行分配就成为一个生活中的问题。

以给多个孩子分配蛋糕为例，如果家长直接自己上手切蛋糕分蛋糕，无论分配如何公平，都没有孩子会开心。改进方法是家长尽量均匀切分蛋糕，然后指定一个孩子先挑选。但先选的孩子具有先手优势。即便是家长分得足够均匀，后“选”的孩子还是会觉得不公平。而且手切蛋糕始终不是冰墩墩或者衣服之类的工业制品，无法实现工业品级别的一模一样。

于是，家长做资源分配时，除了让每个孩子觉得公平，还要保证他们互相不嫉妒，消除匮乏之后还要消除嫉妒。互相不嫉妒就是：与其他孩子获得的相比，每个孩子都觉得自己的一样大或更大。

因此，对家长的要求又上升了一个数量级或维度：从“端水大师”到“魔术大师”。前者只需要保证每个孩子都觉得公平，而后者还需要让每个孩子都觉得自己不但不被“劣待”，而且最受宠爱。

幸好，数学家对这两个要求已经有清晰的定义来总结，即公平和无怨。

无怨一定公平，但是公平不一定无怨。即公平是无怨的必要但不充分条件。难怪有人总结育儿金句：抚育两个或者多个孩子，核心不是让每个孩子觉得被公平对待，而是要让每个孩子都觉得被偏爱，而且被偏爱的只能是自己。论分析和总结归纳能力，金句专家还得要拜数学家为师。

穿搭与数学理论

随着经济发展与社会进步，在穿暖的基础上，人们更追求穿得好又美。穿搭成为了日常生活中的重要一环，那么在这个追求个性、崇尚自由的环境下，怎样能穿得好又美呢？这就用到了“4321”的数学口诀。

“4”，衣柜衣服的颜色。现代人为了用颜色制造出足够多的搭配，同时不混淆各种需要突出的部位，衣柜中最少需要几种颜色的衣服鞋帽呢？答案是4种，理由来自著名的四色定理。

四色定理在被证明之前叫四色猜想。四色猜想曾是世界近代三大数学难题之一，于1852年由一名叫格思里的英国绘图员率先提出来。他在绘制英国地图时发现，如果给相邻地区涂上不同颜色，那么只要4种颜色就足够了。

“3”，身上衣服的颜色。要想将衣柜中的衣服穿“美”，则需要层次性。一方面要创造出视觉深度和丰富性，以增加整体着装的风格和细节；另一方面则是要通过制造出来的层次感显得有层次、上档次。有层次感的要诀是，全身上下衣服鞋帽的颜色不能超过三个，同时颜色搭配要和谐。

那么在颜色搭配中，常见的数字化颜色模型有RGB、CMYK和HSL。然而人类的肉眼很难读出一件衣服的RGB或者CMYK编码，其中最适合人眼感觉的颜色模型是HSL。

色相、饱和度和亮度是人眼能够直接感知和识别的，这也是我们用HSL模型来进行服饰颜色搭配的原因。HSL模型具有颜色感知的直观性，例如我们通常用颜色的“深浅”、“鲜艳程度”来描述颜色，特别是在需要考虑颜色协调和对比的时刻。因此，在我们使用HSL模型进行颜色调整时，也更加直观并且容易操作。

“2”，从颜色的三维到转圈圈。在日常生活中，对于大部分三维问题我们都难以理解、难以描述，只能通过降到二维来处理。例如上文讨论过的HSL三维模型，虽然它可以用来考虑服饰颜色搭配的问题，但三维的难度还是让大家觉得不得其法，于是，将复杂的空间降低维度，可以使其更加简单化和直观化。

日本颜色研究所曾于1964年提出PCCS实用性色彩搭配系统，就是通过降维来简化颜色问题。这个搭配系统将饱和度和亮度组合起来，建立了一个名为色调的新维度，并把不同的组合归纳成12个色调。这样，准备配色的用户只需要分两步走：首先，做十二选一，圈定一个色调，即选择一个圆环或者色环；然后，在色环上转圈圈，搭配不同的色相即完成配色。整个流程一下子清爽了许多。

“1”，始终如一。硅谷的一种流行穿法是：选择一个纯色或者固定大搭配，然后购买多件，放在衣柜里每天穿一套新的。大多数将时间视为生命的创业者都是这一穿法的忠实践行者。例如苹果创始人乔布斯的高领毛衣、facebook创始人扎克伯格的灰色T恤，不仅成为“如一”搭配的标志，也甚至成为了整个硅谷的标志。

从“4”到“1”，从衣柜到配色，也是另外一个维度的降维，穿衣搭配的复杂度，也大幅降低到随意操作的程度。

舌尖上的数学

重庆火锅和北方涮锅对于食客来说，不仅是舌尖一爽，还是心头一热。特别是在寒冬季节，暖身养胃爽味蕾。让味蕾最开心的，往往是食材和蘸酱的结合。

研究发现，牛百叶和西兰花是绝佳的蘸酱食材，可用于饱满地吸收麻酱，并且在入口后还有极佳的口感。而这一切味蕾的盛宴，都来自于数学中的分形结构。

分形是一种神奇的图形，在不同的尺度下，其部分可以和整体几乎完全一致。芒德布罗集图形的分形函数表达式为：

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可以想象：分形是魔术师的一幅画，由远及近观看，这幅画永远不变，甚至走到这幅画的眼前，再拿出放大镜乃至显微镜来看这幅画的局部，仍然和整幅画基本一致。这个描述看似神奇，但在自然界中到处都有。比如每片雪花的每个小部分，也都像整片雪花一样。当然，还有我们刚才提到的食物：毛肚和西蓝花。

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对于毛肚或者西蓝花来说，毕竟它们还是“肉身”或“菜身”，无法像数学理论中那样无限迭代。而且即便在数学上，它们的分形有可能也不具备完美的“面积一定但周长无限”的性质。但是，它们在面积一定的情况下，周长可以足够长，至少超过其他大部分食材。同时，牛百叶的独特纹理还有助于锁住调味料，使其味道更加浓郁和悠长，从锅到口的过程中麻酱不容易掉落，端到端的美味转移效果最佳。

同样的道理可以用来解释，为什么许多菜肴制作的时候手撕或者手掰比刀切的味道更佳，比如炝炒手撕卷心菜或者手掰羊肉泡馍。这是因为手撕或手掰的过程更容易形成各种类似分形的接触面，较之刀切形成的整齐切口，能更饱满地吸收汤汁，于是更加鲜美。

从如何公平分配蛋糕，到如何搭配衣服，再到牛百叶为何要配麻酱，作者以这些生活中的琐事作为思维起点，最终落脚于贝叶斯定律，实际上是带领我们深刻领略了人类理性的力量，探究习以为常之下的非比寻常。

在全书中，面对我们在生活中遭遇到的各种难解问题和复杂现象，作者使用各种比喻和简化模型，帮助读者们快速接触到现象背后的底层规律，读者读后的恍然大悟之感，也不失为外行偷窥到高深理论一角的快乐。

即日起至2025年1月30日23点，

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