公元前500年前后，古希腊毕达哥拉斯学派宰杀百牛欢宴，庆祝毕达哥拉斯定理的发现：直角三角形两直角边平方之和等于斜边平方，即x²+y²=z²。公元前12世纪我国《周髀算经》也提出过“勾三股四弦五”，后称勾股定理。如果把幂次提高，对于方程x³+y³=z³直至xⁿ+yⁿ=zⁿ能否找到正整数解？这一问题的提出和“解答”始于法国业余数学家费马。

 

费马贡献最大的领域是数论，但他从不公布，过世后其子才将成果整理出版。大约1637年，费马在阅读古希腊数学家丢番图《算术》第二卷第八命题有关x²+y²=z²的讨论时写道：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。”此话发表于1670年，费马已过世5年。大家翻遍费马遗稿，也没找到这一证明。19世纪初，费马遗留的其他问题均告解决，只剩这一问题悬而未解，是以被称为“费马最后定理”（我国称“费马大定理”）。

 

 

1676年数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n＝4。1678年和1738年德国数学家莱布尼兹和瑞士数学家欧拉也各自证明n＝4。1770年欧拉证明n＝3。1823年和1825年法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明n＝5。1832年狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。1839年法国数学家拉梅证明了n＝7，随后得到法国数学家勒贝格的简化……19世纪贡献最大的是德国数学家库麦尔，他从1844年起花费20多年时间，创立了理想数理论，为代数数论奠下基础；库麦尔证明当n＜100时除37、59、67三数外费马大定理均成立。

 

为推进费马大定理的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔临终在哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，并充分考虑到证明的艰巨性，将期限定为100年。数学迷们对此趋之若鹜，纷纷把“证明”寄给数学家，期望凭短短几页初等变换夺取桂冠。德国数学家兰道印制了一批明信片由学生填写：“亲爱的先生或女士：您对费马大定理的证明已经收到，现予退回，第一个错误出现在第＿页第＿行。”

 

在解决问题的过程中，数学家们不但利用了广博精深的数学知识，还创造了许多新理论新方法，对数学发展的贡献难以估量。1900年，希尔伯特提出尚未解决的23个问题时虽未将费马大定理列入，却把它作为一个在解决中不断产生新理论新方法的典型例证。据说希尔伯特还宣称自己能够证明，但他认为问题一旦解决，有益的副产品将不再产生。“我应更加注意，不要杀掉这只经常为我们生出金蛋的母鸡。”

 

数学家就是这样缓慢而执着地向前迈进，直至1955年证明n＜4002。大型计算机的出现推进了证明速度，1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n＜125000，1985年美国数学家罗瑟证明n＜41000000。但数学是严谨的科学，n值再大依然有限，从有限到无穷的距离漫长而遥远。

 

1983年，年仅29岁的德国数学家法尔廷斯证明了代数几何中的莫德尔猜想，为此在第20届国际数学家大会上荣获菲尔茨奖；此奖相当于数学界的诺贝尔奖，只授予40岁以下的青年数学家。莫德尔猜想有一个直接推论：对于形如xⁿ+yⁿ=zⁿ（n≥4）的方程至多只有有限多组整数解。这对费马大定理的证明是一个有益的突破。从“有限多组”到“一组没有”还有很大差距，但从无限到有限已前进了一大步。

 

1955年日本数学家谷山丰提出过一个属于代数几何范畴的谷山猜想，德国数学家弗雷在1985年指出：如果费马大定理不成立，谷山猜想也不成立。随后德国数学家佩尔提出佩尔猜想，补足了弗雷观点的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩尔猜想都被证明，费马大定理不证自明。

 

事隔一载，美国加利福尼亚大学伯克利分校数学家里比特证明了佩尔猜想。

 

1993年6月，英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在剑桥大学牛顿数学研究所举行了一系列代数几何学术讲演。在6月23日最后一次讲演《椭圆曲线、模型式和伽罗瓦表示》中，怀尔斯部分证明了谷山猜想。所谓部分证明，是指怀尔斯证明了谷山猜想对于半稳定的椭圆曲线成立——谢天谢地，与费马大定理相关的那条椭圆曲线恰好是半稳定的！这时在座60多位知名数学家意识到，困扰数学界三个半世纪的费马大定理被证明了！这一消息在讲演后不胫而走，许多大学都举行了游行和狂欢，在芝加哥甚至出动了警察上街维持秩序。